Деление и дроби, натуральные числа и дроби

Натуральные числа и дроби

Решим задачу: «Имеется 9 яблок, нужно разделить их поровну между тремя братьями. Сколько достанется каждому?»
Эта задача, как вы знаете, решается делением:
9:3 = 3 (ябл.).
Значит, каждому брату достанется по 3 яблока.

Решим другую задачу: «Пусть имеется 2 яблока, и их надо разделить поровну между тремя братьями. Сколько достанется каждому?»
По целому яблоку братьям не досталось. Поэтому решить задачу можно так: разделить каждое из двух яблок на 3 равные части и дать братьям от каждого яблока по одной части. Братья получат по 2 такие части,
т. е. каждый брат получит по яблока.

А как записать решение этой задачи с помощью арифметического действия? В математике эта задача, как и первая, решается делением. Только ответ в этом случае выражается не натуральным, а дробным числом.
И записывается он с помощью дроби :

.

Теперь, когда нам известны дроби, можно разделить друг на друга любые два натуральных числа. Результат деления натуральных чисел выражается или натуральным, или дробным числом. Например:

, , .

Дробные числа выражаются дробями. Но, оказывается, и любое натуральное число тоже может быть записано в виде дроби, причем натуральное число можно представить в виде дроби с каким угодно знаменателем.
Легко представить в виде дроби число 1. Разделим единичный отрезок, например, на 10 равных долей.

Одной такой доле соответствует дробь , а десяти долям — дробь . Но десять долей — это весь единичный отрезок целиком. Поэтому натуральное число 1 и дробь изображаются одной
и той же точкой координатной прямой, т. е. .

Точно так же

.

Таким образом, число 1 представляется в виде дроби, у которой числитель и знаменатель равны.

Теперь легко представить в виде дроби любое другое натуральное число, например число 5. В числе 1 содержится 2 вторых доли, значит, в числе 5 будет 10 вторых долей.
Поэтому . И вообще,

А какой самой простой дробью можно записать натуральное число 5? Сократив
дробь , получим равную ей дробь . Значит, , и эта дробь уже несократима.

Итак, натуральные числа, как и дробные, записываются в виде дробей. Поэтому можно считать, что все числа, которые мы используем, — дроби. Но некоторые из них «по совместительству» являются и натуральными числами.